दीर्घवृत्तों E_{k}: kx^{2} + k^{2}y^{2} = 1 प | vedclass

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Question

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $kx^{2} + k^{2}y^{2} = 1$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{1/k} + \frac{y^{2}}{1/k^{2}} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।अक्षों पर अंतिम

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$3080$

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(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $kx^{2} + k^{2}y^{2} = 1$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{1/k} + \frac{y^{2}}{1/k^{2}} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।अक्षों पर अंतिम बिंदु $(\pm 1/\sqrt{k}, 0)$ और $(0, \pm 1/k)$ हैं।प्रथम चतुर्थांश में $(1/\sqrt{k}, 0)$ और $(0, 1/k)$ को जोड़ने वाली जीवा का समीकरण $\frac{x}{1/\sqrt{k}} + \frac{y}{1/k} = 1$ है,जो $\sqrt{k}x + ky = 1$ में सरल हो जाता है।वृत्त $C_{k}$ की त्रिज्या $r_{k}$ मूल बिंदु $(0,0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी है:$r_{k} = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{(\sqrt{k})^{2} + k^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{k + k^{2}}}$.अतः,$\frac{1}{r_{k}^{2}} = k + k^{2}$.हमें $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}} = \sum_{k=1}^{20} (k + k^{2}) = \sum_{k=1}^{20} k + \sum_{k=1}^{20} k^{2}$ की गणना करनी है।$n=20$ के लिए योग सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20 	imes 21}{2} = 210$.$\sum_{k=1}^{20} k^{2} = \frac{20 	imes 21 	imes 41}{6} = 10 	imes 7 	imes 41 = 2870$.इस प्रकार,$\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}} = 210 + 2870 = 3080$.

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