मान लीजिए कि दीर्घवृत्त frac{x^2}{a^2} + frac | vedclass

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Question

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $a^2 - e^2x_1^2$ होता है।दिए गए बिंदु $\

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$\frac{3-2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$

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(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $a^2 - e^2x_1^2$ होता है।दिए गए बिंदु $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ के लिए,गुणनफल $a^2 - e^2(\sqrt{3})^2 = a^2 - 3e^2 = \frac{7}{4}$ है।अतः,$4a^2 = 7 + 12e^2$.चूंकि बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित है,$\frac{3}{a^2} + \frac{1}{4b^2} = 1$.$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$\frac{3}{a^2} + \frac{1}{4a^2(1 - e^2)} = 1$.$4a^2(1 - e^2)$ से गुणा करने पर,$12(1 - e^2) + 1 = 4a^2(1 - e^2)$.$4a^2 = 7 + 12e^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$13 - 12e^2 = (7 + 12e^2)(1 - e^2)$.$13 - 12e^2 = 7 - 7e^2 + 12e^2 - 12e^4$.$12e^4 - 17e^2 + 6 = 0$.द्विघात सूत्र का उपयोग करके $e^2$ ज्ञात करने पर: $e^2 = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 288}}{24} = \frac{17 \pm 1}{24}$.अतः,$e_1^2 = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ और $e_2^2 = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.इसलिए,$e_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $e_2 = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.निरपेक्ष अंतर $|e_1 - e_2| = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$.

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