परवलय P : y^2 = 4x और दीर्घवृत्त E : frac{x^2 | vedclass

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Question

(C) परवलय $P : y^2 = 4x$ की नाभि $(1, 0)$ पर है और इसका नाभिलंब रेखा $x = 1$ है।चूंकि $P$ और $E$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड दोनों क

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$3$

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(C) परवलय $P : y^2 = 4x$ की नाभि $(1, 0)$ पर है और इसका नाभिलंब रेखा $x = 1$ है।चूंकि $P$ और $E$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड दोनों का नाभिलंब है, इसलिए रेखा $x = 1$ दीर्घवृत्त $E$ का नाभिलंब होनी चाहिए।दीर्घवृत्त के लिए, नाभिलंब $x = ae$ पर होता है, इसलिए $ae = 1$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2)$ और $(1, -2)$ हैं। चूंकि ये बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित हैं, हम $x = 1$ और $y = 2$ को $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ में प्रतिस्थापित करते हैं:$\frac{1}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$.संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करके, हम $b^2$ को प्रतिस्थापित करते हैं:$\frac{1}{a^2} + \frac{4}{a^2(1 - e^2)} = 1$.चूंकि $a = 1/e$ है, इसलिए $a^2 = 1/e^2$ है, जिससे $e^2 + \frac{4e^2}{1 - e^2} = 1$ प्राप्त होता है।$e^2(1 - e^2) + 4e^2 = 1 - e^2 \implies e^2 - e^4 + 4e^2 = 1 - e^2 \implies e^4 - 6e^2 + 1 = 0$.द्विघात सूत्र का उपयोग करके $e^2$ के लिए हल करने पर: $e^2 = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$।चूंकि $e अतः $e^2 + 2\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} = 3$।

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