स्तंभ-I में दिए गए कथनों को स्तंभ-II के साथ स | vedclass

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Question

(A-T, B-P, R, C-Q, S, D-R) $(A)-(t)$: मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$ मानिए। यह दी गई रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है

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$A-t, B-p, r, C-q, s, D-r$

Vedclass · Answer

(A-T, B-P, R, C-Q, S, D-R) $(A)-(t)$: मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$ मानिए। यह दी गई रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है। समीकरणों को हल करने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $P(5, -5, 2)$ और $Q(\frac{10}{3}, -\frac{10}{3}, \frac{8}{3})$ प्राप्त होते हैं। दूरी $PQ^2 = (5-\frac{10}{3})^2 + (-5+\frac{10}{3})^2 + (2-\frac{8}{3})^2 = \frac{54}{9} = 6$.$(B)-(p), (r)$: $	an^{-1}(x+3) - 	an^{-1}(x-3) = \sin^{-1}(\frac{3}{5}) = 	an^{-1}(\frac{3}{4})$। सूत्र $	an^{-1}A - 	an^{-1}B = 	an^{-1}(\frac{A-B}{1+AB})$ का उपयोग करने पर,$\frac{6}{x^2-8} = \frac{3}{4} \Rightarrow x^2-8 = 8 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$.$(C)-(q), (s)$: दी गई शर्तों $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 0$,$2|\vec{b}+\vec{c}| = |\vec{b}-\vec{a}|$ और $\vec{a} = \mu \vec{b} + 4 \vec{c}$ का उपयोग करके सरलीकरण करने पर $\mu$ के लिए द्विघात समीकरण $\mu^2 - 5\mu = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $\mu = 0, 5$ मिलता है।$(D)-(r)$: $I = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(9x/2)}{\sin(x/2)} dx = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(9x/2)}{\sin(x/2)} dx$। सर्वसमिका $\frac{\sin(nx)}{\sin x} = 1 + 2\sum_{k=1}^{(n-1)/2} \cos(2kx)$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} (1 + 2\sum_{k=1}^{4} \cos(kx)) dx = \frac{4}{\pi} [x + 2\sum \frac{\sin(kx)}{k}]_0^{\pi} = 4$.

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$(A)$ मूल बिंदु से जाने वाली एक रेखा,रेखाओं $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}$ और $\frac{x-\frac{8}{3}}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-1}{1}$ को क्रमशः $P$ और $Q$ पर मिलती है। यदि लंबाई $PQ=d$ है,तो $d^2$ है	$(p)$ $-4$
$(B)$ $\tan ^{-1}(x+3)-\tan ^{-1}(x-3)=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मान हैं	$(q)$ $0$
$(C)$ शून्येतर सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ समीकरणों $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\vec{b}+\vec{c})=0$ और $2\|\vec{b}+\vec{c}\|=\|\vec{b}-\vec{a}\|$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $\vec{a}=\mu \vec{b}+4 \vec{c}$ है,तो $\mu$ के संभावित मान हैं	$(r)$ $4$
$(D)$ मान लीजिए $f$ अंतराल $[-\pi, \pi]$ पर एक फलन है,जहाँ $f(0)=9$ और $x \neq 0$ के लिए $f(x)=\frac{\sin \left(\frac{9 x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}$ है। $\frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx$ का मान है	$(s)$ $5$
	$(t)$ $6$

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A) P(\overline{A} \cup B)$	$(I) \frac{2}{3}$
$(B) P(\frac{A}{\overline{B}})$	$(II) \frac{11}{15}$
$(C) P(A \cup B)$	$(III) \frac{3}{5}$

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यदि $A, B$ और $C$ तीन स्वतंत्र घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(A)=P(B)=P(C)=P$, तो $P$ ($A, B$ और $C$ में से कम से कम दो घटनाएँ घटित हों) बराबर है

मान लीजिए $X$ और $Y$ ऐसी घटनाएँ हैं कि $P(X \cup Y) = P(X \cap Y).$
कथन-$1$: $P(X \cap Y) = P(X' \cap Y') = 0$
कथन-$2$: $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y).$

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