मान लीजिए कि a, b और c एक निष्पक्ष चतुष्फलकीय | vedclass

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Question

(A) एक चतुष्फलकीय पासे को तीन बार उछालने पर कुल परिणामों की संख्या $4 	imes 4 	imes 4 = 64$ है।द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल वास्तविक हो

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$19$

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(A) एक चतुष्फलकीय पासे को तीन बार उछालने पर कुल परिणामों की संख्या $4 	imes 4 	imes 4 = 64$ है।द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac \geq 0$ होना चाहिए,अर्थात $b^2 \geq 4ac$।हम $b \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए मानों की जाँच करते हैं:$1$. यदि $b = 1$,तो $b^2 = 1$। $1 \geq 4ac$ के लिए $a, c \in \{1, 2, 3, 4\}$ में कोई हल नहीं है।$2$. यदि $b = 2$,तो $b^2 = 4$। $4 \geq 4ac \Rightarrow ac \leq 1$। केवल एक हल $(a, c) = (1, 1)$ है। ($1$ स्थिति)$3$. यदि $b = 3$,तो $b^2 = 9$। $9 \geq 4ac \Rightarrow ac \leq 2.25$। संभावित जोड़े $(a, c)$ हैं: $(1, 1), (1, 2), (2, 1)$। ($3$ स्थितियाँ)$4$. यदि $b = 4$,तो $b^2 = 16$। $16 \geq 4ac \Rightarrow ac \leq 4$। संभावित जोड़े $(a, c)$ हैं: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 1)$। ($8$ स्थितियाँ)कुल अनुकूल परिणाम = $1 + 3 + 8 = 12$।प्रायिकता $P = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$ है।अतः,$m = 3$ और $n = 16$। चूँकि $\operatorname{gcd}(3, 16) = 1$,इसलिए $m + n = 3 + 16 = 19$।

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