$x - 2y \leq 0$,$-3x + y \leq 4$,$x - y \leq 6$ અને $x, y \geq 0$ શરતોને આધીન $Z = 3x - 4y$ નું મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધો.

(A) આપણે $x - 2y \leq 0$,$-3x + y \leq 4$,$x - y \leq 6$ અને $x, y \geq 0$ શરતોને આધીન $Z = 3x - 4y$ નું મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવાનું છે.
આ અસમતાઓ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબનો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ બનાવે છે. આ પ્રદેશ અનિયંત્રિત (unbounded) છે અને તેના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(12, 6)$ અને $B(0, 4)$ છે.

શિરોબિંદુઓ	$Z = 3x - 4y$ નું મૂલ્ય
$O(0, 0)$	$0$
$A(12, 6)$	$3(12) - 4(6) = 12$
$B(0, 4)$	$3(0) - 4(4) = -16$

શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ અનિયંત્રિત હોવાથી,આપણે તપાસવું પડશે કે ન્યૂનતમ અને મહત્તમ મૂલ્યો અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે નહીં.
$1$. ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે: આપણે અસમતા $3x - 4y < -16$ તપાસીએ છીએ. $3x - 4y < -16$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ખુલ્લા અર્ધતલને શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ સાથે સામાન્ય બિંદુઓ છે. તેથી,$Z$ નું કોઈ ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.
$2$. મહત્તમ મૂલ્ય માટે: આપણે અસમતા $3x - 4y > 12$ તપાસીએ છીએ. $3x - 4y > 12$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ખુલ્લા અર્ધતલને શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી. તેથી,$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $12$ છે,જે બિંદુ $A(12, 6)$ પર મળે છે.