सामान्य समीकरण $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2fy + 2gx + c = 0$ से मिश्र पद $xy$ को हटाने के लिए,अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,जहाँ $\tan 2\theta$ का मान क्या होगा?

यदि बिंदु $P(1,3)$ क्रमिक रूप से निम्नलिखित परिवर्तनों से गुजरता है:
$(i)$ रेखा $y=x$ के सापेक्ष परावर्तन।
(ii) $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $3$ इकाई का स्थानांतरण।
(iii) मूल बिंदु के परितः घड़ी की दिशा में $\frac{\pi}{6}$ कोण पर घूर्णन।
तो,बिंदु $P$ की अंतिम स्थिति है:

जब मूल बिंदु को $(2,3)$ बिंदु पर स्थानांतरित किया जाता है और फिर निर्देशांक अक्षों को वामावर्त दिशा में $\frac{\pi}{3}$ कोण से घुमाया जाता है,तो $3 x^2+2 x y+3 y^2-18 x-22 y+50=0$ का रूपांतरित समीकरण क्या होगा?

मान लीजिए कि अक्ष $X$ और $Y$,अक्ष $x$ और $y$ को $\theta$ कोण पर घुमाकर प्राप्त किए जाते हैं। यदि समीकरण $x^2+2 \sqrt{3} x y-y^2=4 a^2$ को $XY$-अक्षों के सापेक्ष $X^2-Y^2=2 a^2$ में परिवर्तित किया जाता है,तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)

बिंदु $P(3,2)$ निम्नलिखित क्रमिक परिवर्तनों से गुजरता है:
$(i)$ रेखा $y=x$ के सापेक्ष परावर्तन
(ii) $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $3$ इकाई का स्थानांतरण
(iii) मूल बिंदु के सापेक्ष वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घूर्णन
तो,उस बिंदु की अंतिम स्थिति क्या है?

मूलबिंदु को $(1,2)$ पर स्थानांतरित किया जाता है। पुरानी प्रणाली में बिंदु $(7,5)$ क्रमिक रूप से निम्नलिखित परिवर्तनों से गुजरता है।
$I$. मूलबिंदु के दिए गए स्थानांतरण के तहत नए बिंदु पर जाता है।
$II$. नई $X$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में $2$ इकाई स्थानांतरित होता है।
$III$. नई प्रणाली के मूलबिंदु के चारों ओर दक्षिणावर्त दिशा में $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाया जाता है। बिंदु $(7,5)$ की अंतिम स्थिति क्या है?