शांकव $4x^{2} + 9y^{2} = 1$ और $4x^{2} + y^{2} = 4$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या है

यदि परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $P$ पर अभिलंब वक्र को पुनः बिंदु $Q$ पर मिलता है,और यदि $PQ$ तथा $Q$ पर अभिलंब $x$-अक्ष के साथ क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ कोण बनाते हैं,तो $\tan \alpha (\tan \alpha + \tan \beta)$ का मान क्या है?

मूलबिंदु $O$ पर केंद्र वाले दीर्घवृत्त $E$ की उत्केंद्रता $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है और इसकी नियताएँ $x = \pm \frac{4\sqrt{6}}{3}$ हैं। मान लीजिए $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ एक अतिपरवलय है जिसकी उत्केंद्रता $E$ के अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई के बराबर है, और जिसकी नाभिलंब की लंबाई $E$ के लघु अक्ष की लंबाई के बराबर है। तब $H$ की नाभियों के बीच की दूरी है:

यदि $\theta \in \left[-\frac{\pi}{3}, 0\right]$ के लिए,बिंदु $(x, y) = \left(3 \tan \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right), 2 \tan \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\right)$ समीकरण $xy+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ पर स्थित हैं,तो $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

परवलय $y^2=16x$ और वृत्त $x^2+y^2=8$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के समीकरण हैं

एक ऐसे बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जो इस प्रकार गति करता है कि उसकी $(0, 0)$ बिंदु से दूरी,$y$-अक्ष से उसकी दूरी की दोगुनी है।