समीकरण xyz = 90 के धनात्मक पूर्णांक हलों की स | vedclass

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Question

(C) $xyz = 90$ के धनात्मक पूर्णांक हलों को खोजने के लिए,हम पहले $90$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।$90 = 2^1 	imes 3^2 	imes 5^1$.चूंकि $x, y, z$ धनात

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$54$

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(C) $xyz = 90$ के धनात्मक पूर्णांक हलों को खोजने के लिए,हम पहले $90$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।$90 = 2^1 	imes 3^2 	imes 5^1$.चूंकि $x, y, z$ धनात्मक पूर्णांक हैं,इसलिए उन्हें $x = 2^{a_1} 3^{b_1} 5^{c_1}$,$y = 2^{a_2} 3^{b_2} 5^{c_2}$,और $z = 2^{a_3} 3^{b_3} 5^{c_3}$ के रूप में होना चाहिए।गुणनफल $xyz = 2^{a_1+a_2+a_3} 	imes 3^{b_1+b_2+b_3} 	imes 5^{c_1+c_2+c_3} = 2^1 	imes 3^2 	imes 5^1$.यह हमें घातांकों के लिए तीन स्वतंत्र समीकरण देता है:$a_1 + a_2 + a_3 = 1$,जहाँ $a_i \ge 0$.अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या 'स्टार्स एंड बार्स' सूत्र $\binom{n+k-1}{k-1} = \binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ द्वारा दी जाती है।$b_1 + b_2 + b_3 = 2$,जहाँ $b_i \ge 0$.हलों की संख्या $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$ है।$c_1 + c_2 + c_3 = 1$,जहाँ $c_i \ge 0$.हलों की संख्या $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ है।हलों की कुल संख्या प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के लिए हलों का गुणनफल है: $3 	imes 6 	imes 3 = 54$।

समीकरण $xyz = 90$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या क्या है?

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