$n$ कणों के निकाय के लिए द्रव्यमान केंद्र के वेग का व्यंजक प्राप्त कीजिए।

$n$ कणों के एक निकाय पर विचार करें। मान लीजिए $m_{1}, m_{2}, m_{3}, \ldots, m_{n}$ द्रव्यमान वाले कणों के स्थिति सदिश मूल बिंदु के सापेक्ष क्रमशः $\overrightarrow{r_{1}}, \overrightarrow{r_{2}}, \overrightarrow{r_{3}}, \ldots, \overrightarrow{r_{n}}$ हैं।
यदि $\overrightarrow{R}$ द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश है,तो:
$\overrightarrow{R} = \frac{m_{1} \overrightarrow{r_{1}} + m_{2} \overrightarrow{r_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{r_{n}}}{m_{1} + m_{2} + \ldots + m_{n}}$
मान लीजिए $M = \sum_{i=1}^{n} m_{i}$ निकाय का कुल द्रव्यमान है। अतः:
$M \overrightarrow{R} = m_{1} \overrightarrow{r_{1}} + m_{2} \overrightarrow{r_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{r_{n}} \quad \ldots (1)$
यह मानते हुए कि निकाय का द्रव्यमान समय के साथ नहीं बदलता है,समीकरण $(1)$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$M \frac{d \overrightarrow{R}}{d t} = m_{1} \frac{d \overrightarrow{r_{1}}}{d t} + m_{2} \frac{d \overrightarrow{r_{2}}}{d t} + \ldots + m_{n} \frac{d \overrightarrow{r_{n}}}{d t}$
चूंकि $\frac{d \overrightarrow{R}}{d t} = \overrightarrow{V}$ (द्रव्यमान केंद्र का वेग) और $\frac{d \overrightarrow{r_{i}}}{d t} = \overrightarrow{v_{i}}$ ($i$-वें कण का वेग) है,हमें प्राप्त होता है:
$M \overrightarrow{V} = m_{1} \overrightarrow{v_{1}} + m_{2} \overrightarrow{v_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{v_{n}}$
अतः,द्रव्यमान केंद्र का वेग है:
$\overrightarrow{V} = \frac{m_{1} \overrightarrow{v_{1}} + m_{2} \overrightarrow{v_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{v_{n}}}{M} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} \overrightarrow{v_{i}}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}$