$n$ કણોની સિસ્ટમ માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગનું સૂત્ર મેળવો.

$n$ કણોની એક સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $m_{1}, m_{2}, m_{3}, \ldots, m_{n}$ દળ ધરાવતા કણોના સ્થાન સદિશો ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે અનુક્રમે $\overrightarrow{r_{1}}, \overrightarrow{r_{2}}, \overrightarrow{r_{3}}, \ldots, \overrightarrow{r_{n}}$ છે.
જો $\overrightarrow{R}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ હોય,તો:
$\overrightarrow{R} = \frac{m_{1} \overrightarrow{r_{1}} + m_{2} \overrightarrow{r_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{r_{n}}}{m_{1} + m_{2} + \ldots + m_{n}}$
ધારો કે $M = \sum_{i=1}^{n} m_{i}$ એ સિસ્ટમનું કુલ દળ છે. તેથી:
$M \overrightarrow{R} = m_{1} \overrightarrow{r_{1}} + m_{2} \overrightarrow{r_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{r_{n}} \quad \ldots (1)$
સિસ્ટમનું દળ સમય સાથે બદલાતું નથી તેમ ધારીને,સમીકરણ $(1)$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$M \frac{d \overrightarrow{R}}{d t} = m_{1} \frac{d \overrightarrow{r_{1}}}{d t} + m_{2} \frac{d \overrightarrow{r_{2}}}{d t} + \ldots + m_{n} \frac{d \overrightarrow{r_{n}}}{d t}$
અહીં $\frac{d \overrightarrow{R}}{d t} = \overrightarrow{V}$ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ) અને $\frac{d \overrightarrow{r_{i}}}{d t} = \overrightarrow{v_{i}}$ ($i$-માં કણનો વેગ) હોવાથી,આપણને મળે છે:
$M \overrightarrow{V} = m_{1} \overrightarrow{v_{1}} + m_{2} \overrightarrow{v_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{v_{n}}$
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ:
$\overrightarrow{V} = \frac{m_{1} \overrightarrow{v_{1}} + m_{2} \overrightarrow{v_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{v_{n}}}{M} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} \overrightarrow{v_{i}}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}$