પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગ માટેનું સૂત્ર મેળવો.

(N/A) ધારો કે પૃથ્વી $R_E$ ત્રિજ્યા અને $M_E$ દળ ધરાવતો એક સમાન ઘનતા $\rho$ વાળો ગોળો છે.
ધારો કે $m$ દળનો એક પદાર્થ કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર છે,જ્યાં $r = R_E - d$.
શેલ પ્રમેય મુજબ,પૃથ્વીની અંદરના બિંદુ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ફક્ત $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાના દળ $M_r$ દ્વારા જ લાગે છે. આ ત્રિજ્યાની બહારના શેલ પદાર્થ $m$ પર કોઈ ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડતા નથી.
આંતરિક ગોળાનું દળ $M_r = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સમાન ઘનતા હોવાથી,$\rho = \frac{M_E}{\frac{4}{3} \pi R_E^3}$.
$M_r$ ના સૂત્રમાં $\rho$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M_r = M_E \left( \frac{r^3}{R_E^3} \right)$ મળે છે.
$r$ અંતરે રહેલા $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G M_r m}{r^2}$ છે.
$M_r$ ની કિંમત મૂકતા,$F = \frac{G m}{r^2} \cdot M_E \frac{r^3}{R_E^3} = \frac{G M_E m r}{R_E^3}$ મળે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g(r) = \frac{F}{m} = \frac{G M_E r}{R_E^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = R_E - d$ મૂકતા,$g(d) = \frac{G M_E (R_E - d)}{R_E^3} = \frac{G M_E}{R_E^2} \left( 1 - \frac{d}{R_E} \right)$ મળે છે.
કારણ કે $g = \frac{G M_E}{R_E^2}$ એ સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે,તેથી સૂત્ર $g(d) = g \left( 1 - \frac{d}{R_E} \right)$ બને છે.