કુલંબના નિયમ પરથી ગૌસનો નિયમ મેળવો.

(N/A) ધારો કે ઉગમબિંદુ પર એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ મૂકેલો છે. કુલંબના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ નીચે મુજબ છે:
$\overrightarrow{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^{2}} \hat{r}$
હવે,વિદ્યુતભાર $q$ ને કેન્દ્રમાં રાખીને $r$ ત્રિજ્યાની એક ગોળીય ગૌસિયન સપાટી વિચારો. આ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E$ પૃષ્ઠ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\phi_E = \oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s}$
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ ત્રિજ્યાવર્તી છે અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $d\overrightarrow{s}$ પણ ત્રિજ્યાવર્તી (બહારની તરફ) હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે. તેથી,$\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} = E ds \cos(0^\circ) = E ds$.
$\phi_E = \oint E ds = E \oint ds$
ગોળીય સપાટી પર દરેક બિંદુએ $E$ અચળ છે અને $\oint ds = 4 \pi r^{2}$ (ગોળાનું પૃષ્ઠફળ) હોવાથી:
$\phi_E = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^{2}} \right) \cdot (4 \pi r^{2})$
$\phi_E = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
આ ગૌસનો નિયમ છે: $\oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$.