कूलम्ब के नियम से गॉस का नियम प्राप्त कीजिए।

(N/A) मान लीजिए कि मूल बिंदु पर एक बिंदु आवेश $q$ स्थित है। कूलम्ब के नियम के अनुसार,आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ इस प्रकार है:
$\overrightarrow{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^{2}} \hat{r}$
अब,आवेश $q$ को केंद्र मानकर $r$ त्रिज्या का एक गोलीय गॉसियन पृष्ठ मानिए। इस पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ पृष्ठ समाकल द्वारा दिया जाता है:
$\phi_E = \oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s}$
चूंकि विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ त्रिज्यीय है और क्षेत्रफल सदिश $d\overrightarrow{s}$ भी त्रिज्यीय (बाहर की ओर) है,इसलिए उनके बीच का कोण $0^\circ$ है। अतः,$\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} = E ds \cos(0^\circ) = E ds$।
$\phi_E = \oint E ds = E \oint ds$
गोलीय पृष्ठ पर प्रत्येक बिंदु पर $E$ स्थिर है और $\oint ds = 4 \pi r^{2}$ (गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल) है,इसलिए:
$\phi_E = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^{2}} \right) \cdot (4 \pi r^{2})$
$\phi_E = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
यह गॉस का नियम है: $\oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$।