गॉस के नियम का उपयोग किए बिना,एकसमान रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ वाले एक लंबे पतले तार के कारण विद्युत क्षेत्र का सूत्र प्राप्त कीजिए।

(N/A) एकसमान रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ वाला एक लंबा पतला तार $XY$ मान लीजिए।
तार के मध्य बिंदु $O$ से $l$ लंबवत दूरी पर एक बिंदु $A$ पर विचार कीजिए।
तार $XY$ के कारण बिंदु $A$ पर विद्युत क्षेत्र $E$ है।
तार पर $O$ से $x$ दूरी पर एक छोटा अवयव $dx$ मान लीजिए (अर्थात $OZ = x$)।
इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dx$ है।
इस अवयव के कारण बिंदु $A$ पर विद्युत क्षेत्र:
$dE = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda dx}{(AZ)^{2}}$
चूंकि $AZ = \sqrt{l^{2} + x^{2}}$,इसलिए:
$dE = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda dx}{l^{2} + x^{2}}$
विद्युत क्षेत्र को दो लंबवत घटकों में वियोजित किया जाता है। $dE \cos \theta$ लंबवत घटक है और $dE \sin \theta$ समानांतर घटक है। जब पूरे तार पर विचार किया जाता है,तो समानांतर घटक $dE \sin \theta$ समरूपता के कारण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। केवल लंबवत घटक $dE \cos \theta$ ही बिंदु $A$ पर कुल विद्युत क्षेत्र में योगदान देता है।
अतः,प्रभावी विद्युत क्षेत्र $dE_{1}$ है:
$dE_{1} = dE \cos \theta = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda dx \cos \theta}{l^{2} + x^{2}} \dots (1)$
$\Delta AZO$ में,$\tan \theta = \frac{x}{l} \Rightarrow x = l \tan \theta$. अवकलन करने पर,$dx = l \sec^{2} \theta d\theta \dots (2)$
साथ ही,$l^{2} + x^{2} = l^{2} + l^{2} \tan^{2} \theta = l^{2} \sec^{2} \theta \dots (3)$
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में रखने पर:
$dE_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda (l \sec^{2} \theta d\theta) \cos \theta}{l^{2} \sec^{2} \theta} = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} \cos \theta d\theta$
अनंत लंबे तार के लिए,$\theta$ की सीमा $-\frac{\pi}{2}$ से $\frac{\pi}{2}$ तक है। समाकलन करने पर:
$E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} \cos \theta d\theta = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}$
$E = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} [1 - (-1)] = \frac{2\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0} l}$