એક લંબચોરસ સમાંતરબાજુ ફલકનો એક શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $O$ પર છે અને $x, y$ અને $z$ અક્ષો પર તેની ધારની લંબાઈ અનુક્રમે $3, 4$ અને $5$ એકમ છે. ધારો કે $P$ એ શિરોબિંદુ $(3, 4, 5)$ છે. તો વિકર્ણ $OP$ અને $z$-અક્ષને સમાંતર ધાર,જે $O$ કે $P$ માંથી પસાર થતી નથી,તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?

રેખાઓ $\frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}$ અને $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{2}$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

બિંદુઓ $(3, 5, -7)$ અને $(-2, 1, 8)$ ને જોડતી રેખા $yz$-સમતલને કયા બિંદુએ મળે છે?

બિંદુ $(-3,0,1)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશો $\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ તથા $2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ ને લંબ રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $L_1$ અને $L_2$ રેખાઓ $\overrightarrow{r} = \hat{i} + \lambda(-\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}), \lambda \in R$ અને $\overrightarrow{r} = \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}), \mu \in R$ દર્શાવે છે. જો $L_3$ એક એવી રેખા હોય જે $L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ હોય અને બંનેને છેદતી હોય,તો નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ $L_3$ નું વર્ણન કરે છે?
$(1) \overrightarrow{r} = \frac{1}{3}(2\hat{i} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(2) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(3) \overrightarrow{r} = t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(4) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$

જો રેખાઓ $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2k}=\frac{z-3}{2}$ અને $\frac{x-1}{3k}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5}$ પરસ્પર લંબ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.