નીચેનામાંથી ઉપગ્રહો વિશેનું એકમાત્ર ખોટું વિધાન કયું છે?

એક ગ્રહ સૂર્યની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ભ્રમણ કરી રહ્યો છે. ધારો કે $U$ એ સ્થિતિઊર્જા અને $K$ એ ગ્રહની ગતિઊર્જા છે. સાચું વિધાન પસંદ કરો.

$2M$ દળ અને $6R$ ત્રિજ્યા ધરાવતું અર્ધગોળાકાર કવચ અને $M$ દળનો બિંદુવત પદાર્થ તેમના પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. ગતિ દરમિયાન કોઈપણ સમયે તેમની સ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. જો $r_1$ અને $r_2$ એ અનુક્રમે અર્ધગોળાકાર કવચ અને બિંદુવત પદાર્થના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા હોય અને $\omega_1$ અને $\omega_2$ એ અનુક્રમે અર્ધગોળાકાર કવચ અને બિંદુવત પદાર્થની કોણીય ઝડપ હોય,તો સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.

$(a)$ પૃથ્વીને $6400 \, km$ ત્રિજ્યાનો ગોળો ગણી શકાય. પૃથ્વીના પરિભ્રમણ (સમયગાળો $1 \, \text{દિવસ}$) ને કારણે કોઈપણ પદાર્થ (અથવા વ્યક્તિ) પૃથ્વીની ધરીની આસપાસ વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. પૃથ્વીની સપાટી પર (વિષુવવૃત્ત પર) પદાર્થનો તેના કેન્દ્ર તરફનો પ્રવેગ કેટલો છે? અક્ષાંશ $\theta$ પર તે કેટલો હશે? આ પ્રવેગની સરખામણી $g = 9.8 \, m/s^2$ સાથે કેવી રીતે કરી શકાય?
$(b)$ પૃથ્વી પણ સૂર્યની આસપાસ દર વર્ષે $1.5 \times 10^{11} \, m$ ની કક્ષીય ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે. સૂર્યના કેન્દ્ર તરફ પૃથ્વીનો (અથવા પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈપણ પદાર્થનો) પ્રવેગ કેટલો છે? આ પ્રવેગની સરખામણી $g = 9.8 \, m/s^2$ સાથે કેવી રીતે કરી શકાય?

મુક્ત અવકાશમાં $\rho(r)$ દળ ઘનતા ધરાવતા ગોળાકાર વાયુના વાદળનો વિચાર કરો,જ્યાં $r$ એ તેના કેન્દ્રથી ત્રિજ્યાવર્તી અંતર છે. વાયુનું વાદળ સમાન દળ $m$ ધરાવતા કણોનું બનેલું છે જે સમાન ગતિ ઊર્જા $K$ સાથે સામાન્ય કેન્દ્રની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે. કણો પર લાગતું બળ તેમનું પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે. જો $\rho(r)$ સમય સાથે અચળ હોય,તો કણની સંખ્યા ઘનતા $n(r) = \rho(r) / m$ શું હશે?
[$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે]

ધારો કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $(R / 2)$ ના લંબ અંતરે પૃથ્વીની જીવા (chord) પર એક ટનલ ખોદવામાં આવી છે,જ્યાં '$R$' એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે. ટનલની દીવાલ ઘર્ષણરહિત છે. જો આ ટનલમાં એક કણને મુક્ત કરવામાં આવે,તો તે કેટલા આવર્તકાળ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરશે?