સાબિત કરો કે $\tan ^{-1} \frac{63}{16}=\sin ^{-1} \frac{5}{13}+\cos ^{-1} \frac{3}{5}$

ધારો કે $\sin ^{-1} \frac{5}{13} = x$.
તેથી,$\sin x = \frac{5}{13}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos x = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
તેથી,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$,તેથી $x = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$.
આમ,$\sin ^{-1} \frac{5}{13} = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ $\ldots (1)$.
ધારો કે $\cos ^{-1} \frac{3}{5} = y$.
તેથી,$\cos y = \frac{3}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin y = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$\tan y = \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$,તેથી $y = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$.
આમ,$\cos ^{-1} \frac{3}{5} = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$ $\ldots (2)$.
હવે,જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) ધ્યાનમાં લો:
$\sin ^{-1} \frac{5}{13} + \cos ^{-1} \frac{3}{5} = \tan ^{-1} \frac{5}{12} + \tan ^{-1} \frac{4}{3}$.
સૂત્ર $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} (\frac{a+b}{1-ab})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan ^{-1} (\frac{\frac{5}{12} + \frac{4}{3}}{1 - \frac{5}{12} \times \frac{4}{3}}) = \tan ^{-1} (\frac{\frac{15+48}{36}}{1 - \frac{20}{36}}) = \tan ^{-1} (\frac{63/36}{16/36}) = \tan ^{-1} \frac{63}{16}$.
$= L.H.S.$
આમ,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.