बर्नौली के सिद्धांत को सिद्ध कीजिए।

(N/A) मान लीजिए कि एक असंपीड्य,श्यानता-रहित तरल एक परिवर्तित अनुप्रस्थ काट और ऊंचाई वाले पाइप से बह रहा है।
इनलेट पर (बिंदु $B$):
- अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $= A_1$
- तरल की गति $= v_1$
- दबाव $= P_1$
आउटलेट पर (बिंदु $D$):
- अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $= A_2$
- तरल की गति $= v_2$
- दबाव $= P_2$
एक छोटे समय अंतराल $\Delta t$ में,इनलेट पर तरल $v_1 \Delta t$ की दूरी तय करता है। प्रवेश करने वाले तरल का आयतन $\Delta V = A_1 v_1 \Delta t$ है। इनलेट पर दबाव बल द्वारा किया गया कार्य $W_1 = F_1 \times (v_1 \Delta t) = P_1 A_1 v_1 \Delta t = P_1 \Delta V$ है।
इसी प्रकार,आउटलेट पर,दबाव के विरुद्ध तरल द्वारा किया गया कार्य $W_2 = P_2 A_2 v_2 \Delta t = P_2 \Delta V$ है। दबाव द्वारा किया गया कुल कार्य $W = W_1 - W_2 = (P_1 - P_2) \Delta V$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,यह कुल कार्य इनलेट से आउटलेट तक जाने वाले तरल द्रव्यमान $\Delta m = \rho \Delta V$ की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन और स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के योग के बराबर होता है:
$W = \Delta K + \Delta U$
$(P_1 - P_2) \Delta V = \frac{1}{2} \Delta m (v_2^2 - v_1^2) + \Delta m g (h_2 - h_1)$
$\Delta V$ से विभाजित करने और $\Delta m / \Delta V = \rho$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) + \rho g (h_2 - h_1)$
पुनर्व्यवस्थित करने पर बर्नौली का समीकरण प्राप्त होता है:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$
अतः,$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{स्थिरांक}$।