સાબિત કરો કે $\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,$\sqrt{3}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે એવી પરસ્પર અવિભાજ્ય ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ શોધી શકીએ કે જેથી $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$,જ્યાં $gcd(a, b) = 1$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $3 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 3b^2$ .......... $(1)$.
અહીં $3$ એ $a^2$ ને ભાગે છે,તેથી $3$ એ $a$ ને પણ ભાગશે (અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ).
ધારો કે $a = 3k$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,$(3k)^2 = 3b^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $9k^2 = 3b^2$ અથવા $b^2 = 3k^2$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $3$ એ $b^2$ ને ભાગે છે,અને તેથી $3$ એ $b$ ને પણ ભાગશે.
આમ,$3$ એ $a$ અને $b$ બંનેનો સામાન્ય અવયવ છે,જે આપણી ધારણા $gcd(a, b) = 1$ નો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt{3}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.