सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम ऐसे सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b$ प्राप्त कर सकते हैं कि $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$,जहाँ $gcd(a, b) = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $3 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 3b^2$ .......... $(1)$.
चूँकि $3$,$a^2$ को विभाजित करता है,इसलिए $3$,$a$ को भी विभाजित करेगा (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार)।
मान लीजिए $a = 3k$,जहाँ $k$ कोई पूर्णांक है।
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर,$(3k)^2 = 3b^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $9k^2 = 3b^2$ या $b^2 = 3k^2$ मिलता है।
इसका अर्थ है कि $3$,$b^2$ को विभाजित करता है,और इसलिए $3$,$b$ को भी विभाजित करेगा।
इस प्रकार,$3$,$a$ और $b$ दोनों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है,जो हमारी प्रारंभिक धारणा $gcd(a, b) = 1$ का विरोधाभास करता है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt{3}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।