સાબિત કરો કે કોઈપણ બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $2$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n$ અને $n+1$ છે,જ્યાં $n$ એક ધન પૂર્ણાંક છે.
તેમનો ગુણાકાર $P = n(n+1) = n^2 + n$ છે.
આપણે $n$ માટે બે કિસ્સાઓ વિચારી શકીએ:
કિસ્સો $1$: જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય,તો $n = 2k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તેથી,$P = 2k(2k+1) = 2(2k^2 + k)$,જે સ્પષ્ટપણે $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n$ એકી સંખ્યા હોય,તો $n = 2k+1$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તેથી,$P = (2k+1)(2k+1+1) = (2k+1)(2k+2) = 2(2k+1)(k+1)$,જે પણ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં ગુણાકાર $2$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,કોઈપણ બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $2$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.