सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+b+c \\ 2a & 3a+2b & 4a+3b+2c \\ 3a & 6a+3b & 10a+6b+3c\end{array}\right|=a^{3}$

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+b+c \\ 2a & 3a+2b & 4a+3b+2c \\ 3a & 6a+3b & 10a+6b+3c\end{array}\right|$.
संक्रियाओं $R_{2} \rightarrow R_{2}-2R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow R_{3}-3R_{1}$ को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+b+c \\ 0 & a & 2a+b \\ 0 & 3a & 7a+3b\end{array}\right|$.
अब,$R_{3} \rightarrow R_{3}-3R_{2}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+b+c \\ 0 & a & 2a+b \\ 0 & 0 & a\end{array}\right|$.
प्रथम स्तंभ $C_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = a \left|\begin{array}{cc}a & 2a+b \\ 0 & a\end{array}\right| - 0 + 0 = a(a^{2} - 0) = a(a^{2}) = a^{3}$.
अतः,सारणिक का मान $a^{3}$ है।