સાબિત કરો કે $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ અસંમેય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.

(N/A) ધારો કે $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે $\sqrt{p}+\sqrt{q} = a$,જ્યાં $a$ એક શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{q} = a - \sqrt{p}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\sqrt{q})^2 = (a - \sqrt{p})^2$
$q = a^2 + p - 2a\sqrt{p}$.
$\sqrt{p}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2a\sqrt{p} = a^2 + p - q$
$\sqrt{p} = \frac{a^2 + p - q}{2a}$.
અહીં $a$ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,પદ $\frac{a^2 + p - q}{2a}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા જ થાય.
પરંતુ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{p}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $p$ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
આ એક વિરોધાભાસ છે કારણ કે અસંમેય સંખ્યા ક્યારેય સંમેય સંખ્યાને સમાન ન હોઈ શકે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\sqrt{p} + \sqrt{q}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.