सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ एक अपरिमेय संख्या है,जहाँ $p$ और $q$ भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं।

(N/A) मान लीजिए कि $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ एक परिमेय संख्या है।
माना $\sqrt{p}+\sqrt{q} = a$,जहाँ $a$ एक शून्येतर परिमेय संख्या है।
तब,$\sqrt{q} = a - \sqrt{p}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sqrt{q})^2 = (a - \sqrt{p})^2$
$q = a^2 + p - 2a\sqrt{p}$.
$\sqrt{p}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2a\sqrt{p} = a^2 + p - q$
$\sqrt{p} = \frac{a^2 + p - q}{2a}$.
चूंकि $a$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए व्यंजक $\frac{a^2 + p - q}{2a}$ भी एक परिमेय संख्या होगी।
हालाँकि,हम जानते हैं कि $\sqrt{p}$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $p$ एक अभाज्य संख्या है।
यह एक विरोधाभास उत्पन्न करता है क्योंकि एक अपरिमेय संख्या कभी भी परिमेय संख्या के बराबर नहीं हो सकती।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है और $\sqrt{p} + \sqrt{q}$ एक अपरिमेय संख्या है।