सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

मान लीजिए कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है। मान लीजिए $\sqrt{2}+\sqrt{3} = a$,जहाँ $a$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,$\sqrt{2} = a - \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sqrt{2})^2 = (a - \sqrt{3})^2$
$2 = a^2 + 3 - 2a\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2a\sqrt{3} = a^2 + 3 - 2$
$2a\sqrt{3} = a^2 + 1$
$\sqrt{3} = \frac{a^2 + 1}{2a}$
चूँकि $a$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $\frac{a^2 + 1}{2a}$ भी एक परिमेय संख्या होगी। इसका अर्थ है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
परंतु,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास हमारी प्रारंभिक धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।