सिद्ध कीजिए कि sqrt{2} एक अपरिमेय संख्या है। | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है। अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b 
eq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$।

Vedclass · Accepted Answer

यह एक अपरिमेय संख्या है।

Vedclass · Answer

(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है। अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b 
eq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $2 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 2b^2$। यह दर्शाता है कि $a^2$ सम है,और इसलिए $a$ भी सम होना चाहिए। मान लीजिए $a = 2k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए। इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $(2k)^2 = 2b^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $4k^2 = 2b^2$,जो सरल होकर $b^2 = 2k^2$ हो जाता है। यह दर्शाता है कि $b^2$ सम है,और इसलिए $b$ भी सम होना चाहिए। चूंकि $a$ और $b$ दोनों सम हैं,उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $2$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं। अतः,हमारी धारणा गलत है,और $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

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