ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): 1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$
$n=1$ માટે,
$P(1): 1 = \frac{3^{1}-1}{2} = \frac{2}{2} = 1,$ જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1} = \frac{3^{k}-1}{2}$ $(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$(k+1)$ પદો સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1}+3^{(k+1)-1}$
$= (1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1}) + 3^{k}$
$= \frac{3^{k}-1}{2} + 3^{k}$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= \frac{3^{k}-1 + 2 \cdot 3^{k}}{2}$
$= \frac{(1+2) \cdot 3^{k} - 1}{2}$
$= \frac{3 \cdot 3^{k} - 1}{2}$
$= \frac{3^{k+1}-1}{2}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે સત્ય છે.