ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે,$x^{2n}-y^{2n}$ એ $x+y$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે $P(n): x^{2n}-y^{2n}$ એ $x+y$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે ચકાસો.
$P(1): x^{2(1)}-y^{2(1)} = x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$,જે સ્પષ્ટપણે $(x+y)$ વડે વિભાજ્ય છે. આમ,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $x^{2k}-y^{2k} = m(x+y)$ કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે. .......$(i)$
પગલું $3$: સાબિત કરો કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$x^{2(k+1)}-y^{2(k+1)} = x^{2k} \cdot x^2 - y^{2k} \cdot y^2$ ધ્યાનમાં લો.
$= x^2(x^{2k} - y^{2k} + y^{2k}) - y^{2k} \cdot y^2$
$= x^2(x^{2k} - y^{2k}) + y^{2k}(x^2 - y^2)$
$= x^2[m(x+y)] + y^{2k}(x+y)(x-y)$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= (x+y)[m x^2 + y^{2k}(x-y)]$.
કારણ કે $(x+y)$ એક અવયવ છે,તેથી જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.