सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए अर्धवृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।

(N/A) माना $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,जिसमें $\angle B = 90^\circ$ है और $AB = y, BC = x$ है।
तीन अर्धवृत्त क्रमशः $AB, BC$ और $AC$ भुजाओं पर खींचे गए हैं,जिनके व्यास $AB, BC$ और $AC$ हैं।
माना $AB, BC$ और $AC$ व्यास वाले अर्धवृत्तों के क्षेत्रफल क्रमशः $A_1, A_2$ और $A_3$ हैं।
सिद्ध करना है: $A_3 = A_1 + A_2$.
उपपत्ति: $\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = y^2 + x^2$
$AC = \sqrt{y^2 + x^2}$
हम जानते हैं कि $d$ व्यास वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{\pi}{2} \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{8}$ होता है।
अतः,$AC$ पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल:
$A_3 = \frac{\pi (AC)^2}{8} = \frac{\pi (y^2 + x^2)}{8}$ .....$(i)$
अब,$AB$ पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल:
$A_1 = \frac{\pi (AB)^2}{8} = \frac{\pi y^2}{8}$ .....$(ii)$
और $BC$ पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल:
$A_2 = \frac{\pi (BC)^2}{8} = \frac{\pi x^2}{8}$ .....$(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$A_1 + A_2 = \frac{\pi y^2}{8} + \frac{\pi x^2}{8} = \frac{\pi (y^2 + x^2)}{8}$
समीकरण $(i)$ से,हम देख सकते हैं कि $A_1 + A_2 = A_3$.
अतः,कर्ण पर खींचे गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए अर्धवृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।