સાબિત કરો કે કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણની બાકીની બે બાજુઓ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળોના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું હોય છે.

(N/A) ધારો કે $ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે,જેમાં $\angle B = 90^\circ$ છે અને $AB = y, BC = x$ છે.
ત્રણ અર્ધવર્તુળો અનુક્રમે $AB, BC$ અને $AC$ બાજુઓ પર દોરવામાં આવ્યા છે,જેના વ્યાસ $AB, BC$ અને $AC$ છે.
ધારો કે $AB, BC$ અને $AC$ વ્યાસવાળા અર્ધવર્તુળોના ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે $A_1, A_2$ અને $A_3$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $A_3 = A_1 + A_2$.
સાબિતી: $\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = y^2 + x^2$
$AC = \sqrt{y^2 + x^2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $d$ વ્યાસવાળા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi}{2} \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{8}$ થાય છે.
તેથી,$AC$ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ:
$A_3 = \frac{\pi (AC)^2}{8} = \frac{\pi (y^2 + x^2)}{8}$ .....$(i)$
હવે,$AB$ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ:
$A_1 = \frac{\pi (AB)^2}{8} = \frac{\pi y^2}{8}$ .....$(ii)$
અને $BC$ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ:
$A_2 = \frac{\pi (BC)^2}{8} = \frac{\pi x^2}{8}$ .....$(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$A_1 + A_2 = \frac{\pi y^2}{8} + \frac{\pi x^2}{8} = \frac{\pi (y^2 + x^2)}{8}$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $A_1 + A_2 = A_3$.
આમ,કર્ણ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ એ બાકીની બે બાજુઓ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળોના ક્ષેત્રફળના સરવાળા બરાબર છે.