सिद्ध कीजिए कि वक्र $x=y^{2}$ और $xy=k$ समकोण पर काटते हैं यदि $8k^{2}=1$ है।

(N/A) दिए गए वक्रों के समीकरण $x=y^{2}$ और $xy=k$ हैं।
$xy=k$ में $x=y^{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^{2} \cdot y = k \Rightarrow y^{3} = k \Rightarrow y = k^{1/3}$.
अतः,$x = (k^{1/3})^{2} = k^{2/3}$.
इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $(k^{2/3}, k^{1/3})$ है।
$x=y^{2}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
$(k^{2/3}, k^{1/3})$ पर $x=y^{2}$ के स्पर्शरेखा की ढाल $(m_{1})$ $m_{1} = \frac{1}{2k^{1/3}}$ है।
$xy=k$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
$(k^{2/3}, k^{1/3})$ पर $xy=k$ के स्पर्शरेखा की ढाल $(m_{2})$ $m_{2} = -\frac{k^{1/3}}{k^{2/3}} = -\frac{1}{k^{1/3}}$ है।
दो वक्र समकोण पर काटते हैं यदि उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ हो:
$m_{1} \cdot m_{2} = -1$
$\left(\frac{1}{2k^{1/3}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{k^{1/3}}\right) = -1$
$-\frac{1}{2k^{2/3}} = -1$
$2k^{2/3} = 1$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2k^{2/3})^{3} = 1^{3} \Rightarrow 8k^{2} = 1$.
अतः,वक्र समकोण पर काटते हैं यदि $8k^{2}=1$ है।