સાબિત કરો કે વક્રો $y^{2}=4x$ અને $x^{2}=4y$ એ $x=0, x=4, y=4$ અને $y=0$ દ્વારા ઘેરાયેલા ચોરસના ક્ષેત્રફળને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.

(N/A) પરવલયો $y^{2}=4x$ અને $x^{2}=4y$ ના છેદબિંદુઓ $y = \frac{x^{2}}{4}$ ને $y^{2}=4x$ માં મૂકતા મળે છે,જે $(\frac{x^{2}}{4})^{2} = 4x$ આપે છે,તેથી $x^{4} = 64x$. આનો અર્થ એ છે કે $x(x^{3}-64) = 0$,તેથી $x=0$ અથવા $x=4$. આમ,છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4,4)$ છે.
$1$. વક્રો $y^{2}=4x$ અને $x^{2}=4y$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ:
$\int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - \frac{x^{2}}{4}) dx = [2 \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{3}}{12}]_{0}^{4} = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3}$ ચોરસ એકમ.
$2$. વક્ર $x^{2}=4y$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=0$ તથા $x=4$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ:
$\int_{0}^{4} \frac{x^{2}}{4} dx = \frac{1}{12} [x^{3}]_{0}^{4} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$ ચોરસ એકમ.
$3$. વક્ર $y^{2}=4x$,$y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y=0$ તથા $y=4$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ:
$\int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{4} dy = \frac{1}{12} [y^{3}]_{0}^{4} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$ ચોરસ એકમ.
ચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \times 4 = 16$ ચોરસ એકમ છે અને ત્રણેય પ્રદેશોનું ક્ષેત્રફળ $\frac{16}{3}$ ચોરસ એકમ હોવાથી,આ વક્રો ચોરસને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.