सिद्ध कीजिए कि वक्र $y^{2}=4x$ और $x^{2}=4y$ रेखाओं $x=0, x=4, y=4$ और $y=0$ से घिरे वर्ग के क्षेत्रफल को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

(N/A) परवलयों $y^{2}=4x$ और $x^{2}=4y$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $y = \frac{x^{2}}{4}$ को $y^{2}=4x$ में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं,जो $(\frac{x^{2}}{4})^{2} = 4x$ देता है,अतः $x^{4} = 64x$। इसका अर्थ है $x(x^{3}-64) = 0$,इसलिए $x=0$ या $x=4$। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,4)$ हैं।
$1$. वक्रों $y^{2}=4x$ और $x^{2}=4y$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल:
$\int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - \frac{x^{2}}{4}) dx = [2 \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{3}}{12}]_{0}^{4} = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3}$ वर्ग इकाई।
$2$. वक्र $x^{2}=4y$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x=0$ तथा $x=4$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल:
$\int_{0}^{4} \frac{x^{2}}{4} dx = \frac{1}{12} [x^{3}]_{0}^{4} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$ वर्ग इकाई।
$3$. वक्र $y^{2}=4x$,$y$-अक्ष और रेखाओं $y=0$ तथा $y=4$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल:
$\int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{4} dy = \frac{1}{12} [y^{3}]_{0}^{4} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$ वर्ग इकाई।
चूंकि वर्ग का कुल क्षेत्रफल $4 \times 4 = 16$ वर्ग इकाई है और तीनों क्षेत्रों का क्षेत्रफल $\frac{16}{3}$ वर्ग इकाई है,इसलिए ये वक्र वर्ग को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं।