સાબિત કરો કે નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x\end{array}\right|$ એ $\theta$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x\end{array}\right|$.
પ્રથમ હારને અનુસરીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = x(-x^2 - 1) - \sin \theta(-x \sin \theta - \cos \theta) + \cos \theta(-\sin \theta + x \cos \theta)$
$= -x^3 - x + x \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - \sin \theta \cos \theta + x \cos^2 \theta$
$= -x^3 - x + x(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$= -x^3 - x + x(1)$
$= -x^3 - x + x$
$= -x^3$
પરિણામ $-x^3$ માં $\theta$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી નિશ્ચાયક $\theta$ થી સ્વતંત્ર છે.