ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \geq 5$ માટે $n^{2} < 2^{n}$.

(N/A) ધારો કે $P(n): n^{2} < 2^{n}$,જ્યાં $n \geq 5, n \in \mathbb{N}$.
પગલું $1$: $n = 5$ માટે,$P(5): 5^{2} < 2^{5} \implies 25 < 32$,જે સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે $k \geq 5$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $k^{2} < 2^{k}$.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1): (k+1)^{2} < 2^{k+1}$ સત્ય છે.
$(k+1)^{2} = k^{2} + 2k + 1$ લો.
$k^{2} < 2^{k}$ હોવાથી,$(k+1)^{2} < 2^{k} + 2k + 1$.
$k \geq 5$ માટે,તે દર્શાવી શકાય છે કે $2k + 1 < k^{2} < 2^{k}$.
આમ,$(k+1)^{2} < 2^{k} + 2^{k} = 2 \cdot 2^{k} = 2^{k+1}$.
તેથી,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \geq 5$ માટે સત્ય છે.