ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $2^{3n} - 1$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $P(n): 2^{3n} - 1$ એ તમામ $n \in \mathbb{N}$ માટે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,$P(1): 2^{3(1)} - 1 = 8 - 1 = 7$,જે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $k \in \mathbb{N}$ માટે $P(k)$ સત્ય છે.
એટલે કે,$2^{3k} - 1 = 7m$ કોઈ $m \in \mathbb{N}$ માટે,જેનો અર્થ છે કે $2^{3k} = 7m + 1$.
પગલું $3$: આપણે દર્શાવવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$P(k+1): 2^{3(k+1)} - 1 = 2^{3k} \cdot 2^3 - 1$.
$2^{3k} = 7m + 1$ મૂકતા:
$= (7m + 1) \cdot 8 - 1$
$= 56m + 8 - 1$
$= 56m + 7$
$= 7(8m + 1)$,જે સ્પષ્ટપણે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \in \mathbb{N}$ માટે સત્ય છે.