નીચેના ગાણિતિક વિધાનોને ધ્યાનપૂર્વક વાંચો:
$I$. એવા બે ત્રિકોણ અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે કે જેમાં એક ત્રિકોણની બધી બાજુઓ $1 \text{ cm}$ કરતા નાની હોય જ્યારે બીજા ત્રિકોણની બધી બાજુઓ $10 \text{ m}$ કરતા મોટી હોય,પરંતુ પ્રથમ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બીજા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે હોય.
$II$. જો $x, y, z$ બધા અલગ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય,તો $\frac{1}{(x - y)^2} + \frac{1}{(y - z)^2} + \frac{1}{(z - x)^2} = \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - z} + \frac{1}{z - x} \right)^2$.
$III$. $\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = (\log_3 x \cdot \log_4 x) + (\log_4 x \cdot \log_5 x) + (\log_5 x \cdot \log_3 x)$ એ $x$ ની માત્ર એક વાસ્તવિક કિંમત માટે સાચું છે.
$IV$. એક શ્રેણિકમાં $12$ ઘટકો છે. તેની શક્ય કક્ષાઓની સંખ્યા $6$ છે. હવે સાચો વિકલ્પ દર્શાવો.

જો $A = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ હોય,તો $|A^{2011} - 5A^{2010}|$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\omega$ એક એવી સંકર સંખ્યા છે કે જેથી $2\omega + 1 = z$ જ્યાં $z = \sqrt{-3}$ છે. જો $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -\omega^2 - 1 & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega^7 \end{array} \right| = 3k$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $a, b$ અને $c$ ત્રણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જે $\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 9 & 7 \\ 8 & 2 & 7 \\ 7 & 3 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ $(E)$ નું સમાધાન કરે છે.
$1.$ જો બિંદુ $P(a, b, c)$, $(E)$ ના સંદર્ભમાં, સમતલ $2x+y+z=1$ પર આવેલું હોય, તો $7a+b+c$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(A) 0$ $(B) 12$ $(C) 7$ $(D) 6$
$2.$ ધારો કે $\omega$ એ $x^3-1=0$ નો ઉકેલ છે જ્યાં $\operatorname{Im}(\omega)>0$ છે. જો $a=2$ હોય અને $b$ તથા $c$ એ $(E)$ નું સમાધાન કરતા હોય, તો $\frac{3}{\omega^a}+\frac{1}{\omega^b}+\frac{3}{\omega^c}$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(A) -2$ $(B) 2$ $(C) 3$ $(D) -3$
$3.$ ધારો કે $b=6$ છે, અને $a$ તથા $c$ એ $(E)$ નું સમાધાન કરે છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ હોય, તો $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right)^n$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(A) 6$ $(B) 7$ $(C) \frac{6}{7}$ $(D) \infty$
પ્રશ્નો $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

$\left\{0, 1, 2\right\}$ માંથી ઘટકો ધરાવતા કેટલા $3 \times 3$ શ્રેણિકો $M$ છે,જેના માટે $M^T M$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $5$ થાય?

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix}$. જો કોઈ $\theta \in (0, \pi)$ માટે,$A^2 = A^T$ હોય,તો શ્રેણિક $(A + I)^3 + (A - I)^3 - 6A$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો . . . . . . થાય.