दिखाइए कि $\sqrt{5}$ को संख्या रेखा पर कैसे निरूपित किया जा सकता है।
(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ को निरूपित करने के लिए,हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं: $\sqrt{5} = \sqrt{2^2 + 1^2}$।
$1$. एक संख्या रेखा खींचिए और $0$ को दर्शाने वाला बिंदु $O$ और $O$ से $2$ इकाई की दूरी पर $2$ को दर्शाने वाला बिंदु $A$ अंकित कीजिए।
$2$. बिंदु $A$ पर,$1$ इकाई लंबाई का एक लंब रेखाखंड $AB$ खींचिए।
$3$. $O$ और $B$ को मिलाइए। समकोण त्रिभुज $\triangle OAB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OB^2 = OA^2 + AB^2$
$OB^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
$OB = \sqrt{5}$
$4$. अब,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर,एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $C$ पर काटता है।
$5$. दूरी $OC$,$OB$ के बराबर है,जो $\sqrt{5}$ है। अतः,बिंदु $C$ संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ को निरूपित करता है।
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$3$. $O$ और $B$ को मिलाइए। समकोण त्रिभुज $\triangle OAB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OB^2 = OA^2 + AB^2$
$OB^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
$OB = \sqrt{5}$
$4$. अब,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर,एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $C$ पर काटता है।
$5$. दूरी $OC$,$OB$ के बराबर है,जो $\sqrt{5}$ है। अतः,बिंदु $C$ संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ को निरूपित करता है।
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बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
$(i)$ प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
$(ii)$ प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।
$(iii)$ प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
$(i)$ प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
$(ii)$ प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।
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$(ii)$ $(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})$
$(iii)$ $(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}$
$(iv)$ $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$
$(i)$ $(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2})$
$(ii)$ $(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})$
$(iii)$ $(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}$
$(iv)$ $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$
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