દર્શાવો કે કોઈપણ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક $6q+1$,$6q+3$ અથવા $6q+5$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $q$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.

(N/A) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \leq r < b$ થાય.
ધારો કે $a$ કોઈ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે અને $b = 6$ છે.
પૂર્વપ્રમેયમાં $b = 6$ મૂકતા,આપણને $a = 6q + r$ મળે,જ્યાં $0 \leq r < 6$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4, 5$ છે.
જો $r = 0$ હોય,તો $a = 6q = 2(3q)$,જે યુગ્મ છે.
જો $r = 1$ હોય,તો $a = 6q + 1 = 2(3q) + 1$,જે અયુગ્મ છે.
જો $r = 2$ હોય,તો $a = 6q + 2 = 2(3q + 1)$,જે યુગ્મ છે.
જો $r = 3$ હોય,તો $a = 6q + 3 = 2(3q + 1) + 1$,જે અયુગ્મ છે.
જો $r = 4$ હોય,તો $a = 6q + 4 = 2(3q + 2)$,જે યુગ્મ છે.
જો $r = 5$ હોય,તો $a = 6q + 5 = 2(3q + 2) + 1$,જે અયુગ્મ છે.
આમ,$a$ એ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક હોવાથી,તે $6q, 6q+2$ અથવા $6q+4$ સ્વરૂપમાં ન હોઈ શકે. તેથી,કોઈપણ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક $6q+1, 6q+3$ અથવા $6q+5$ સ્વરૂપમાં જ હોય છે.