सिद्ध कीजिए कि एक चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC)$ है।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है: $AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC)$।
उपपत्ति: $\triangle AOB$ में,त्रिभुज असमिका प्रमेय (triangle inequality theorem) के अनुसार (त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है),हमारे पास है:
$OA + OB > AB$ ... $(1)$
$\triangle BOC$ में,हमारे पास है:
$OB + OC > BC$ ... $(2)$
$\triangle COD$ में,हमारे पास है:
$OC + OD > CD$ ... $(3)$
$\triangle DOA$ में,हमारे पास है:
$OD + OA > DA$ ... $(4)$
समीकरण $(1), (2), (3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(OA + OB) + (OB + OC) + (OC + OD) + (OD + OA) > AB + BC + CD + DA$
$2(OA + OC) + 2(OB + OD) > AB + BC + CD + DA$
चूंकि $OA + OC = AC$ और $OB + OD = BD$,हम इन मानों को असमिका में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(AC) + 2(BD) > AB + BC + CD + DA$
$2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA$
अतः,$AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)$।
इति सिद्धम्।