सिद्ध कीजिए कि एक दिए गए निश्चित वृत्त के अंतर्गत सभी आयतों में से,वर्ग का क्षेत्रफल अधिकतम होता है।

(N/A) माना $R$ त्रिज्या वाले दिए गए वृत्त के अंतर्गत $l$ लंबाई और $b$ चौड़ाई वाला एक आयत है।
आयत का विकर्ण वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है और यह व्यास $2R$ के बराबर होता है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2R)^{2} = l^{2} + b^{2}$
$\Rightarrow b^{2} = 4R^{2} - l^{2}$
$\Rightarrow b = \sqrt{4R^{2} - l^{2}}$
आयत का क्षेत्रफल,$A = l \times b = l \sqrt{4R^{2} - l^{2}}$
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $A^{2}$ को अधिकतम करते हैं। माना $S = A^{2} = l^{2}(4R^{2} - l^{2}) = 4R^{2}l^{2} - l^{4}$ है।
$l$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dS}{dl} = 8R^{2}l - 4l^{3}$
$\frac{dS}{dl} = 0$ रखने पर:
$4l(2R^{2} - l^{2}) = 0$
चूंकि $l \neq 0$,इसलिए $l^{2} = 2R^{2} \Rightarrow l = R\sqrt{2}$ है।
अब,$b = \sqrt{4R^{2} - (R\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{4R^{2} - 2R^{2}} = \sqrt{2R^{2}} = R\sqrt{2}$ है।
चूंकि $l = b = R\sqrt{2}$ है,इसलिए आयत एक वर्ग है।
द्वितीय अवकलज परीक्षण:
$\frac{d^{2}S}{dl^{2}} = 8R^{2} - 12l^{2}$
$l^{2} = 2R^{2}$ पर,$\frac{d^{2}S}{dl^{2}} = 8R^{2} - 12(2R^{2}) = 8R^{2} - 24R^{2} = -16R^{2} < 0$ है।
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए क्षेत्रफल $l = b = R\sqrt{2}$ पर अधिकतम है।
अतः,यह सिद्ध होता है कि एक निश्चित वृत्त के अंतर्गत सभी आयतों में से,वर्ग का क्षेत्रफल अधिकतम होता है।