फलन f(x) = frac{log x}{x}, x 0 का अधिकतम मा | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = \frac{\log x}{x}$.अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \fra

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$\frac{1}{e}$

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(B) माना $f(x) = \frac{\log x}{x}$.अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:$1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.अब,हम द्वितीय अवकलज परीक्षण (second derivative test) का उपयोग करते हैं:$f''(x) = \frac{x^2 \cdot (-\frac{1}{x}) - (1 - \log x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.$x = e$ पर,$f''(e) = \frac{2 \log e - 3}{e^3} = \frac{2(1) - 3}{e^3} = -\frac{1}{e^3} चूंकि $f''(e) अधिकतम मान $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ है।

फलन $f(x) = \frac{\log x}{x}, x > 0$ का अधिकतम मान क्या है?

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