मान लीजिए f(x) एक त्रिघात बहुपद है जहाँ f(1) | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है। तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ और $f''(x) = 6ax + 2b$ होगा।चूंकि $f'(x)$ का $x = -1$ पर स्थानीय न्यूनतम

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$22$

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(C) मान लीजिए $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है। तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ और $f''(x) = 6ax + 2b$ होगा।चूंकि $f'(x)$ का $x = -1$ पर स्थानीय न्यूनतम है,इसलिए $f''(-1) = 0$,जिससे $6a(-1) + 2b = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $b = 3a$।अतः,$f'(x) = 3ax^2 + 6ax + c = 3a(x^2 + 2x) + c = 3a(x+1)^2 + (c - 3a)$।चूंकि $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम है,इसलिए $f'(1) = 0$,जिससे $3a(1+1)^2 + (c - 3a) = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $12a + c - 3a = 0$,जिससे $c = -9a$ मिलता है।अब,$f'(x) = 3ax^2 + 6ax - 9a = 3a(x^2 + 2x - 3) = 3a(x+3)(x-1)$।$f'(x)$ का समाकलन करने पर,$f(x) = a(x^3 + 3x^2 - 9x) + k$ प्राप्त होता है।$f(1) = -10$ का उपयोग करने पर: $a(1 + 3 - 9) + k = -10 \Rightarrow -5a + k = -10$।$f(-1) = 6$ का उपयोग करने पर: $a(-1 + 3 + 9) + k = 6 \Rightarrow 11a + k = 6$।समीकरणों को घटाने पर: $(11a + k) - (-5a + k) = 6 - (-10) \Rightarrow 16a = 16 \Rightarrow a = 1$।तब $k = 6 - 11(1) = -5$।अतः,$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 5$।अंत में,$f(3) = (3)^3 + 3(3)^2 - 9(3) - 5 = 27 + 27 - 27 - 5 = 22$।

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