સાબિત કરો કે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ $\vec{a} \times \vec{b}$ ના માનનું અડધું હોય છે.

(N/A) ધારો કે બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને ત્રિકોણની બાજુઓ $\vec{OK}$ અને $\vec{OM}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે $\theta$ ખૂણે નમેલા છે.
$\Delta OMN$ માં,જ્યાં $MN$ એ $M$ થી $OK$ પરનો લંબ છે,આપણી પાસે છે:
$\sin \theta = \frac{MN}{OM} = \frac{MN}{|\vec{b}|}$
$MN = |\vec{b}| \sin \theta$
$\Delta OMK$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times OK \times MN$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$
કારણ કે સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,આપણે આને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકીએ છીએ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ બે સદિશોના સદિશ ગુણાકારના માનનું અડધું છે.