સાબિત કરો કે ચોરસના વિકર્ણો સમાન હોય છે અને એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.

(N/A) ધારો કે એક ચોરસ $ABCD$ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
$(i)$ વિકર્ણો સમાન છે તે સાબિત કરવા માટે,એટલે કે $AC = BD$:
$\Delta ABC$ અને $\Delta BAD$ માં:
$AB = BA$ [સામાન્ય બાજુ]
$BC = AD$ [ચોરસ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ]
$\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$ [ચોરસના બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોય છે]
$\therefore \Delta ABC \cong \Delta BAD$ [$SAS$ પૂર્વધારણા]
$\Rightarrow AC = BD$ ............. $(1)$
$(ii)$ $O$ એ $AC$ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે તે સાબિત કરવા માટે:
$AD \parallel BC$ અને $AC$ છેદિકા હોવાથી,$\angle 1 = \angle 3$ [યુગ્મકોણ].
તે જ રીતે,$\angle 2 = \angle 4$ [યુગ્મકોણ].
$\Delta OAD$ અને $\Delta OCB$ માં:
$AD = CB$ [ચોરસ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ]
$\angle 1 = \angle 3$ [સાબિત કર્યું]
$\angle 2 = \angle 4$ [સાબિત કર્યું]
$\therefore \Delta OAD \cong \Delta OCB$ [$ASA$ પૂર્વધારણા]
$\Rightarrow OA = OC$ અને $OD = OB$
$\Rightarrow O$ એ $AC$ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે,એટલે કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $O$ પર દુભાગે છે. .......... $(2)$
$(iii)$ $AC \perp BD$ સાબિત કરવા માટે:
$\Delta OBA$ અને $\Delta ODA$ માં:
$OB = OD$ [સાબિત કર્યું]
$BA = DA$ [ચોરસની સામસામેની બાજુઓ]
$OA = OA$ [સામાન્ય બાજુ]
$\therefore \Delta OBA \cong \Delta ODA$ [$SSS$ પૂર્વધારણા]
$\Rightarrow \angle AOB = \angle AOD$
$\angle AOB$ અને $\angle AOD$ રૈખિક જોડના ખૂણા હોવાથી,$\angle AOB + \angle AOD = 180^{\circ}$.
$\Rightarrow \angle AOB = \angle AOD = 90^{\circ}$
$\Rightarrow AC \perp BD$ ............. $(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે ચોરસના વિકર્ણો સમાન હોય છે અને એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.