દર્શાવો કે બિંદુઓ $(\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k})$ અને $3(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ એ સમતલ $\vec{r} \cdot(5 \hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k})+9=0$ થી સમાન અંતરે આવેલા છે અને તેની વિરુદ્ધ બાજુએ આવેલા છે.

(N/A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k}$ છે. સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot(5 \hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k})+9=0$ છે.
બિંદુ $\vec{p}$ નું સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{n} + d_0 = 0$ થી અંતર $d = \frac{|\vec{p} \cdot \vec{n} + d_0|}{|\vec{n}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માટે:
$d_1 = \frac{|(1)(5) + (-1)(2) + (3)(-7) + 9|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + (-7)^2}} = \frac{|5 - 2 - 21 + 9|}{\sqrt{25 + 4 + 49}} = \frac{|-9|}{\sqrt{78}} = \frac{9}{\sqrt{78}}$.
બિંદુ $\vec{b}$ માટે:
$d_2 = \frac{|(3)(5) + (3)(2) + (3)(-7) + 9|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + (-7)^2}} = \frac{|15 + 6 - 21 + 9|}{\sqrt{78}} = \frac{|9|}{\sqrt{78}} = \frac{9}{\sqrt{78}}$.
અહીં $d_1 = d_2$ હોવાથી,બિંદુઓ સમાન અંતરે છે.
બાજુઓ ચકાસવા માટે,આપણે બંને બિંદુઓ માટે $f(\vec{r}) = \vec{r} \cdot \vec{n} + d_0$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(\vec{a}) = 5 - 2 - 21 + 9 = -9 < 0$.
$f(\vec{b}) = 15 + 6 - 21 + 9 = 9 > 0$.
બંને કિંમતો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતી હોવાથી,બિંદુઓ સમતલની વિરુદ્ધ બાજુએ આવેલા છે.