सिद्ध कीजिए कि अधिकतम आयतन और दी गई तिर्यक ऊँचाई वाले शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण $\tan ^{-1} \sqrt{2}$ होता है।

(A) माना $\theta$ शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण है।
यह स्पष्ट है कि $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है।
माना $r$,$h$ और $l$ क्रमशः शंकु की त्रिज्या,ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई हैं।
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ अचर दी गई है।
अब,$r = l \sin \theta$ और $h = l \cos \theta$ है।
शंकु का आयतन $(V) = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ और $h$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{1}{3} \pi (l^2 \sin^2 \theta)(l \cos \theta) = \frac{1}{3} \pi l^3 \sin^2 \theta \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$\theta$ के सापेक्ष $V$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{d\theta} = \frac{\pi l^3}{3} [\sin^2 \theta(-\sin \theta) + \cos \theta(2 \sin \theta \cos \theta)]$
$= \frac{\pi l^3}{3} [-\sin^3 \theta + 2 \sin \theta \cos^2 \theta]$ प्राप्त होता है।
अधिकतम या न्यूनतम आयतन के लिए,$\frac{dV}{d\theta} = 0$ रखने पर:
$\sin^3 \theta = 2 \sin \theta \cos^2 \theta \Rightarrow \tan^2 \theta = 2 \Rightarrow \tan \theta = \sqrt{2} \Rightarrow \theta = \tan^{-1} \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अब,द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^2V}{d\theta^2} = \frac{\pi l^3}{3} [-3 \sin^2 \theta \cos \theta + 2 \cos^3 \theta - 4 \sin^2 \theta \cos \theta] = \frac{\pi l^3}{3} [2 \cos^3 \theta - 7 \sin^2 \theta \cos \theta]$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = \sqrt{2}$ पर $\sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta$ रखने पर:
$\frac{d^2V}{d\theta^2} = \frac{\pi l^3}{3} [2 \cos^3 \theta - 7(2 \cos^2 \theta) \cos \theta] = \frac{\pi l^3}{3} [2 \cos^3 \theta - 14 \cos^3 \theta] = -4 \pi l^3 \cos^3 \theta$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है,इसलिए $\cos \theta > 0$,अतः $\frac{d^2V}{d\theta^2} < 0$ है।
अतः,आयतन अधिकतम है जब $\theta = \tan^{-1} \sqrt{2}$ हो।