सिद्ध कीजिए कि जिन सरल रेखाओं की दिक्-कोसाइन $2l + 2m - n = 0$ और $mn + nl + lm = 0$ द्वारा दी गई हैं,वे समकोण पर हैं।

(A) हमारे पास है,$2l + 2m - n = 0 \dots (i)$
और $mn + nl + lm = 0 \dots (ii)$
$(i)$ से,$n = 2l + 2m$. इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$m(2l + 2m) + (2l + 2m)l + lm = 0$
$2lm + 2m^2 + 2l^2 + 2lm + lm = 0$
$2l^2 + 5lm + 2m^2 = 0$
$2l^2 + 4lm + lm + 2m^2 = 0$
$2l(l + 2m) + m(l + 2m) = 0$
$(2l + m)(l + 2m) = 0$
स्थिति $1$: $m = -2l$. तब $n = 2l + 2(-2l) = -2l$. दिक्-अनुपात $(l, -2l, -2l)$ हैं,जो $(1, -2, -2)$ के समानुपाती हैं।
स्थिति $2$: $l = -2m$. तब $n = 2(-2m) + 2m = -2m$. दिक्-अनुपात $(-2m, m, -2m)$ हैं,जो $(2, -1, 2)$ के समानुपाती हैं।
माना दिक्-अनुपात $a_1, b_1, c_1 = (1, -2, -2)$ और $a_2, b_2, c_2 = (2, -1, 2)$ हैं।
लंबवत होने की शर्त $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ है।
$(1)(2) + (-2)(-1) + (-2)(2) = 2 + 2 - 4 = 0$.
चूंकि योग $0$ है,इसलिए रेखाएं समकोण पर हैं।