$L-C$ परिपथ के अवकल समीकरण को हल करें और धारा के लिए व्यंजक प्राप्त करें।

(D) $L-C$ परिपथ का अवकल समीकरण इस प्रकार है,
$\frac{d^{2} q}{d t^{2}}+\frac{1}{LC} q=0$
जहाँ $q$ संधारित्र पर आवेश है।
इस समीकरण का सामान्य हल है,
$q(t) = q_{m} \cos(\omega_{0} t + \phi)$
जहाँ $q_{m}$ अधिकतम आवेश है,$\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ कोणीय आवृत्ति है,और $\phi$ कला नियतांक है।
मान लीजिए कि $t = 0$ पर संधारित्र पूर्णतः आवेशित है,तो $q(0) = q_{m}$।
$q_{m} = q_{m} \cos(\phi) \implies \cos(\phi) = 1 \implies \phi = 0$।
अतः,$q(t) = q_{m} \cos(\omega_{0} t)$।
धारा $I$ आवेश के प्रवाह की दर है,$I = -\frac{dq}{dt}$ (क्योंकि संधारित्र निरावेशित हो रहा है)।
$I = -\frac{d}{dt} [q_{m} \cos(\omega_{0} t)] = -q_{m} \omega_{0} (-\sin(\omega_{0} t)) = q_{m} \omega_{0} \sin(\omega_{0} t)$।
अधिकतम धारा $I_{m} = q_{m} \omega_{0}$ को परिभाषित करने पर,हमें प्राप्त होता है,
$I = I_{m} \sin(\omega_{0} t)$।